PN結仿真實例：半導體漂移擴散Drift-Diffusion
我們知道，導電的是載流子，包括空洞和電子。PN結中的P和N都是半導體材料，比如硅或鍺，區別是用了不同的原子摻雜（doping）。若不摻雜，半導體硅本身的空洞或電子濃度就叫本征載流子濃度（intrinsiccarrier concentration），用Ni表示，與溫度強相關；比如300開爾文的硅Ni約為10e9cm^-3，空洞和電子都是這個濃度，因為沒有摻雜。摻雜多空洞載流子，硅便成了P類硅（P-type），摻雜多電子載流子，硅便成了N類硅（N-type）。P-type是受體acceptor，N-type是施體donor，所以N-type會貢獻多余的電子給P-type，直到電勢平衡，不再有載流子流動，這個過程就叫做擴散（diffusion）。當半導體中的載流子分布處于不平衡時，漂移擴散就會發生。比如半導體兩端有電勢差，或者半導體一部分有光照產生了多余載流子，都是載流子分布不平衡；
本案例中，P-type的摻雜密度為 NA=1e16 cm^-3, N-type的摻雜密度為ND=1e18cm^-3, 硅Ni=1e10cm^-3，有了這些輸入值，加上室溫熱電壓常數Vth=0.026mV，我們就可以手動計算出PN結中的內置電位（builtin potential）：
漂移擴散求解器簡稱DD-solver，是低頻工作室中求解器之一：
模型很簡單，兩個方塊，都是硅材料，長度為0.4um和0.1um，XY方向較小，模擬一維結構。
特別的是，針對DD求解器，硅材料的設置中多了半導體相關的參數：
所以DD求解器需要材料中多明確本征載流子密度、載流子遷移率和載流子有效質量，這三大半導體材料參數。
其中，本征載流子密度容易理解，就是硅的特性；載流子遷移率乘以電場能獲得漂移速度；
載流子有效質量是相對于自由電子的質量，一般都在范圍0.01-10；可能有人問了，怎么空穴和電子的質量還能比電子小呢？這個就是固體物理的范疇了，需要具體的能級曲線分析，這里就不詳細說了。
總之這些設置的值在很多文獻或課本中都能找到。
具體的半導體摻雜則需要在Doping Density處設置：
P-type正摻雜：
N-type負摻雜：
兩邊用PEC添加固定電勢，N-type一邊是0電勢的地，P-type一邊是參數化的電壓偏置，所以Voltage為正就是正向偏置，PN結導通；Voltage為負就是逆向偏置，PN結不通：
本地網格加密，N-type更密一些，因為他的摻雜是P-type的100倍，德拜長度就是P-type的1/10；德拜長度計算：
LD(donor)= sqrt(11.9*8.854e-12*1.3806e-23*300/1.6^2e-38/1e18/1e6) =4nm
LD(acceptor) = 40nm
所以大概一個德拜長度一個網格：
邊界條件：
我們先用Voltage=0，也就是無外界偏置電壓仿真，此時內置電壓等于勢壘電壓。
仿真結束后，很多結果自動得到：
比如我們先查看載流子密度，兩端最大值就是我們之前設置的摻雜密度；中間有耗盡區生成，所以P-type這邊明顯耗盡層較大，因為本案例P摻雜較少，這也是為什么我們畫P長過N。實際中二極管往往P-type要短一些，和摻雜濃度有關。
若看參雜密度，則是設置的定值：
電場分布：
電勢分布：
等離子頻率：
我們用后處理提取中軸線上的電場、電勢、電子密度、空穴密度：
這里從這些曲線其實就能看出耗盡層的大概厚度了。還有三個后處理，其中兩個是提取電勢的最大值和最小值計算壁壘電勢差；第三個是個mix template，用電勢差加上外接電壓voltage得到內置電位（built in potential）。
和我們之前手動計算的一致：
下面我們看看正向偏置電壓，voltage=0.4V，重新仿真，對比電場和電勢，符合理論預期：
我們加個標尺大概量一下耗盡層約長0.25um:
可用公式驗證一下：
Width=sqrt(2*11.9*8.854e-12*(1e22+1e24)/1.602/1e^-19/1e22/1e24*0.43) =0.24um
有了偏置電壓，空穴和電子的準費米能級也不同了：
最后，我們掃參voltage，在0點附近多一些采樣：
看內置電壓，一直都是恒定0.83V，直到外界電壓超過內置電壓，大到把耗盡區完全壓縮，PN結成了電壓源。
查看I-V曲線，注意這里沒有正負之分，方向可查看場圖：
正向偏置的電流：
反向偏置的電流：
小結：
1. DD求解器是漂移擴散求解器，第一個D是drift漂移，計算施加電場下載流子定向運動；第二個D是diffusion擴散，計算載流子濃度變化效果。
2. CST可以用來分析半導體材料的導電特性，比如設計二極管。
